الفلك

تنسيق التحولات بين الأطر المرجعية في علم الفلك الكروي

تنسيق التحولات بين الأطر المرجعية في علم الفلك الكروي


We are searching data for your request:

Forums and discussions:
Manuals and reference books:
Data from registers:
Wait the end of the search in all databases.
Upon completion, a link will appear to access the found materials.

افترض أن هناك إطارين مرجعيين للمراقبة مع الأصول $ O $ و $ O '$ ، على التوالي ، مفصولة بمسافة ثابتة. جسم يقع عند النقطة $ P $ له إحداثيات ديكارتية $ left (x، y، z right) $ و $ left (x '، y'، z '، right) $ في $ O $ و $ O' $ على التوالي ؛ وبالمثل ، فإن الإحداثيات الكروية لـ $ P $ في الإطارات غير المهيأة والمجهزة هي $ left (r ، theta ، phi right) $ و $ left (r '، theta' ، phi ' right) $.

لنفترض أن $ O $ يحدد الإحداثيات الديكارتية لـ $ O '$ لتكون $ left (a، b، c right) $. إذن ، فإن الإحداثيات الديكارتية لـ $ P $ في $ O $ مرتبطة ببساطة بالإحداثيات الديكارتية المجهزة: $$ left (x ، y ، z right) = left (x '+ a ، y' + b ، z ' + ج حق) $$

سؤالي إذن هو كيف يحسب المرء تأثير الترجمة على الإحداثيات الكروية. هذا يعني ، معطى $ left (a، b، c right) $ ، كيف يمكن كتابة $ left (r، theta، phi right) $ كدالة $ left (r '، theta '، phi' right)؟ $


هناك نوع من الإجابة في Math. كل ما يمكنك فعله في الإحداثيات الكروية هو تغيير موضع "القطب" ، أي لديك $ (1،0،0) $ في نظامك الإحداثي الأول ، والذي تم تعيينه إلى بعض $ (r '، vartheta'، varphi ') $ في نظام الإحداثيات الثاني. تمثل الزاويتان دورانًا ، ويمثل $ r $ قياسًا.

أعتقد بما أننا ما زلنا نتعامل مع مساحة متجه (للجزء الزاوي) ، يمكنك ببساطة إضافة أصل نظام الإحداثيات رقم 2 إلى متجهات نظام الإحداثيات الأول. نصف القطر عبارة عن تحجيم ، ويجب ضربه. ومن ثم بالنسبة للنقطة $ p = (r، vartheta، varphi) $ في نظام الإحداثيات 1 ، تحصل على:

$$ p '= (r cdot r'، vartheta + vartheta '، varphi + varphi') $$


الإجابات والردود

هذا مفهوم مفيد ، نعم ، لكن لاحظ أنه ليس & quot؛ مرن & quot؛ كما تعتقد. انظر التعليق التالي.

ما تتخيله الآن هو ليس & quot؛ إطار مرجعي & quot؛ بمعنى تايلور ويلر ، إنه مخطط تنسيق. بيت القصيد من وجود القضبان والساعات هو أنه (أ) يُفترض أن القضبان صلبة - لها دائمًا نفس الطول المناسب - و (ب) يُفترض أن الساعات متزامنة باستخدام مزامنة ساعة أينشتاين. بالطبع هذا يعني أنه ليس لديك & quot ؛ إطار مرجعي & quot ، بل لديك امتداد بالقصور الذاتي الإطار المرجعي.

إذا خففت الظروف للسماح لإطار & quottreference & quot بأن يكون غير قصور ذاتي ، فإن ما تفعله حقًا هو التخلص من المبرر الأصلي لتخيل العصي والساعات في المقام الأول. لا تتم مزامنة الساعات التي تعمل على & quot مهما & quot السعر ، لذلك لم يعد لديك أي سبب لافتراض وجود أي معنى لساعتين مختلفتين تقرأان في نفس الوقت. السماح بإجراء "& quot أياً كان & quot لتخصيص ثلاثة أرقام لموضع مكاني يعني أنه لم يعد لديك قضبان صلبة تظل أطوالها المناسبة كما هي ، لذلك لم يعد لديك أي سبب لافتراض وجود أي معنى لنهايتين لبعض الأشياء ، تم قياسها & اقتباسها. نفس الوقت & quot ، مع وجود اختلاف معين في مجموعاتهم المكونة من 3 أرقام مكانية. بمعنى آخر ، لم يعد لتخصيصاتك للأرقام أي معنى مادي ، ولم يعد مصطلح & quot ؛ إطار المرجع & quot كما تستخدمه طريقة مفيدة لوصفها & quot ؛ & quot ؛ المخطط المنسق & quot هو الأفضل.


مركزية الأرض مقابل الإطارات بالقصور الذاتي

يعرف أي شخص يسافر على متن طائرة أنه بمجرد وصول الطائرة إلى سرعتها (ثابتة تقريبًا) والارتفاع ، يمكنك في الغالب التجول في المقصورة تمامًا كما لو كنت على الأرض. تمارس عضلات ساقيك القوة بنفس الطريقة كما لو كنت تمشي على الأرض. لا تحتاج إلى فعل أي شيء خاص لتأخذ في الحسبان حقيقة أنك تتحرك بسرعة تزيد عن 600 ميل في الساعة بالنسبة إلى الأرض. إذا كانت الطائرة تتسارع أو تغير الارتفاع أو السرعة ، سواء عن طريق الاضطراب أو النية ، فيجب عليك بذل المزيد من الجهد ، لكن الإطارات المتسارعة هي موضوع لوقت آخر.

وبالمثل ، يعرف أي طفل أنه إذا كانت السيارة (أو الشاحنة) تسير بسرعة ثابتة على الطريق السريع المستقيم والمستوى ، فيمكنك رمي الكرة لأعلى من حضنك وستعود إلى حضنك ، تمامًا كما لو كنت جالسًا في كرسي في المنزل ، على الرغم من أن الشاحنة التي تتواجد بها قد تتحرك بسرعة تزيد عن 50 ميلاً في الساعة بالنسبة إلى الأرض. تحصل على تجربة مماثلة في السفر في قطار أو مترو أنفاق.

والسبب في ذلك هو أن قوانين نيوتن هي نفسها في الأطر المرجعية بالقصور الذاتي. يتم تعريف الإطارات بالقصور الذاتي على أنها غير متسارعة أو تتحرك بسرعة ثابتة. نتيجة لهذه الحقيقة هي أن قوانين نيوتن لا تميز أي إطار داخلي مفضل.

حيث 'F' هي القوة المطبقة ، و 'm' هي كتلة الجسم الذي يتم تطبيق القوة عليه ، و 'a' هي التسارع أو معدل تغير السرعة ، 'v' (السرعة هي معدل تغيير الموقف). رياضيا ، هذه مكتوبة باستخدام تدوين مشتق (ويكيبيديا):

والعجلة هي المشتق الثاني للموضع x بالنسبة إلى الوقت.

إذا كانت القوة "F" والكتلة "m" ثوابت ، فإن الحلول الأكثر عمومية لهذه المعادلة هي ، لبعض الوقت في المستقبل ، t & gt0 ، للسرعة ، v:

حيث يُطلق على "A" و "B" اسم "ثوابت عشوائية" بالمعنى الرياضي. في الممارسة العملية ، يتم تحديد هذه الثوابت من الشروط الأولية (ويكيبيديا) للنظام قيد الدراسة. أبعد من ذلك ، هذه الثوابت اعتباطية حقًا - يمكنك اختيارها بأي أصل ، أو نقطة الصفر ، وهذا مناسب لمشكلتك - زاوية منزلك ، وسط المدينة ، مركز الأرض ، مركز المريخ ، أو حتى مركز المجرة ، أو مركز مجرة ​​على بعد مليون سنة ضوئية.

لاحظ أن المتغير "ب" يمثل سرعة ، لذلك بالإضافة إلى أن قوانين نيوتن هي نفسها بغض النظر عن موقعك في الفضاء ، فإن القوانين أيضًا لا تتطلب سرعة مفضلة في الفضاء.
لاحظ أنه إذا كانت F = 0 ، فإن المعادلة تقلل إلى المكون المكاني للتحول الجليل (ويكيبيديا):

تحل هذه المعادلة المشكلة في بُعد مكاني واحد ، لكن يمكنك توسيع الحالة إلى أبعاد ثلاثية عن طريق كتابة معادلات متشابهة لاتجاهي y و z ، اللذين يكونان متعامدين مع اتجاه x ، وبعضهما الآخر.

الآثار الهندسية
تم اختبار قوانين نيوتن ، وخصائصها الثابتة في ظل التحولات الإحداثية ، تجريبيًا لأكثر من ثلاثمائة عام ولها آثار عملية ضخمة. يتم اختبارهم باستخدام ربما كل جهاز ميكانيكي.

أهم هذه التطبيقات العملية هو أنه في الإطارات بالقصور الذاتي ، يمكننا بناء أجهزة تعمل بنفس الطريقة تمامًا إذا تم نقلها (تسريعها) إلى إطار آخر بالقصور الذاتي. يمكننا اختبار روبوت متجول على سطح الأرض ، ثم نقله إلى المريخ ، والقوى المطلوبة لتحركه هي نفسها بشكل أساسي (ضبط الجاذبية السطحية المختلفة ، وملمس الأرض ، وما إلى ذلك) - عزم الدوران الذي يقود لا تحتاج العجلات التي تحركها للأمام إلى اعتبار أن المركبة على كوكب يتحرك عدة كيلومترات في الثانية بالنسبة إلى الأرض. وبالمثل ، فإن الدافعات التي تعدل مسار المركبة الفضائية تتحرك بسرعة كبيرة في النظام الشمسي البعيد (ويكيبيديا: نيو هورايزونز) تنقل نفس التسارع إلى القمر الصناعي كما لو كان في مدار حول الأرض.

إذا كانت الأرض إطارًا مرجعيًا مفضلًا ماديًا ، كما ادعى علماء مركز الأرض ، فإننا نتوقع أن تعمل هذه المبادئ بشكل مختلف عند التحرك بالنسبة إلى الأرض ، أو على مسافة كبيرة من الأرض. حقيقة أن هذه الأجهزة تعمل وفقًا لنفس القوانين الفيزيائية التي اكتشفناها على الأرض هي دليل على أن الأرض ليست إطارًا مرجعيًا مفضلًا ماديًا. سيشتق أي عالم على سطح المريخ نفس القوانين الفيزيائية تمامًا مثل أي عالم على كوكب الأرض.

إذا أراد علماء مركز الأرض الادعاء بأن بعض الأجهزة تعمل في هذه المواقع البعيدة الأخرى لأننا صممناها للعمل بهذه الطريقة ، فإن البيان يحمل معه الافتراض الضمني بأن التكنولوجيا البشرية بطريقة ما تنتهك قوانين الفيزياء. هذا محض هراء. إن التقدم التكنولوجي الذي تمتع به المجتمع البشري على مدى الثلاثمائة عام الماضية هو ثمرة لقدرتنا على فهم تلك القوانين الفيزيائية والعمل ضمن قيودها.

2 تعليقات:

توم - إذا كانت الأرض إطارًا مرجعيًا مفضلًا ماديًا ، كما ادعى علماء مركز الأرض ، فإننا نتوقع أن تعمل هذه المبادئ بشكل مختلف عند التحرك بالنسبة إلى الأرض ، أو على مسافة كبيرة من الأرض.

JM & # 8211 هذا بيان غير متسلسل. لماذا ا؟ يدعي أنصار مركزية الأرض أن الأرض هي إطار مرجعي مفضل لأنها وحدها ثابتة في الكون. هذا لا يعني أن الأرض هي إطار مرجعي مفضل بالنسبة لقوة الجاذبية كما تصر عليها.

توم - حقيقة أن هذه الأجهزة تعمل وفقًا لنفس القوانين الفيزيائية التي اكتشفناها على الأرض هي دليل على أن الأرض ليست إطارًا مرجعيًا مفضلًا ماديًا. سيشتق أي عالم على سطح المريخ نفس القوانين الفيزيائية تمامًا مثل أي عالم على كوكب الأرض.

JM & # 8211 هذه القوانين الفيزيائية نفسها هي مجرد افتراضات وهندسة ورياضيات. يتم استخدام نفس الافتراضات والرياضيات في أجزاء أخرى من الكون ، ثم بشكل جيد. هل هذا يعني أن مركزية الأرض باطلة لأن النظرية لا يمكن أن تفترض عدم وجود إطار مرجعي مفضل؟ بالتأكيد لا ، ببساطة لأن الإطار المرجعي المفضل لمركز الأرض مفضل في إشارة إلى بقية الكون وليس مفضلاً في الإشارة إلى إطار مرجعي محلي آخر. هذا يعني أنه وفقًا لمركزية الأرض ، يجب أن نرى الهيكل الواسع النطاق للكون متمركزًا على الأرض. هذا هو بالضبط ما نراه مع كوادروبوليس وأخطبوطات CMB ومحور الشر ، مما يدل على أن الأرض هي مركز الكون. نرى هذا أيضًا من خلال البنية الكبيرة للمجرات ومصادر الضوء الأخرى التي تتركز على الأرض والموجودة حول الأرض في مجالات متحدة المركز. نرى هذا أيضًا من خلال أداء تجربة تحديد المدى بالليزر القمري التي تم تفسيرها بشكل مرضٍ فقط من خلال الأرض الثابتة (النسبية الخاصة تتسبب في حدوث تشوه في عاكس القمر الرجعي الذي يتسبب في تتبع الليزر لمسار ثلاثي إلى الأرض !! ). ألاحظ أيضًا عدم وجود انحراف في ضوء القمر ، مما يشير إلى أن الأرض ثابتة بالنسبة للقمر. أخيرًا ، يعد فشل Airy & # 8217s في اكتشاف حركة الأرض دليلًا واضحًا على الإطار المرجعي المفضل.

يفترض توم فقط أن الانجذاب الجماعي والقصور الذاتي كما هو محدد في ميكانيكا نيوتن يظل صحيحًا دائمًا في كل مكان وبما أن ميكانيكا نيوتن لا تتطلب إطارًا مرجعيًا مفضلًا ، فعندما تحقق التكنولوجيا بعض النجاح على كوكب آخر ، فمن المفترض أن يكون هذا دليلًا على أن الأرض ليست كذلك. إطار مرجعي مفضل. ولكن إذا فحصنا & # 8216m & # 8217 في معادلة F = ma ، فسنرى أن & # 8216m & # 8217 غير معروف حقًا كسبب داخل ميكانيكا نيوتن على الإطلاق. إنه أمر خاص فقط ليكون سببًا سحريًا في جميع الأجساد المادية. أيضًا إذا فهمنا أن القصور الذاتي ليس ناتجًا عن حركة الجسم ، ولكن بسبب تدفق الأثير المحلي حول الجسم ومعه ، فإن المعادلات النيوتونية هي مجرد معادلات ملائمة تقارب الواقع. على هذا النحو ، فإن أي ادعاءات خاصة تشير إلى أن مثل هذا النموذج يشير بوضوح إلى أن الأرض ليست إطارًا مرجعيًا مفضلًا ، هي المبالغة في تقدير قوة النظرية وتجاهل جميع الأدلة المضادة ضد مطالبة الإطار المرجعي المفضل لمركز الأرض.

توم - إذا أراد علماء مركز الأرض الادعاء بأن بعض الأجهزة تعمل في هذه المواقع البعيدة الأخرى لأننا صممناها للعمل بهذه الطريقة ، فإن البيان يحمل معه الافتراض الضمني بأن التكنولوجيا البشرية بطريقة ما تنتهك قوانين الفيزياء.

JM & # 8211 لا يثبت هذا البيان مطالبته الأولية فيما يتعلق بما يدعي أنصار مركزية الأرض. البيان أيضًا غير متسلسل ، لأن المطالبة بأن الأجهزة قد تم تصميمها بدون إطار مرجعي مفضل ، لا يعني أن كون الإطار المرجعي غير المفضل موجود بالفعل. كل ما يعنيه ذلك هو أنه يمكن تصميم التكنولوجيا باستخدام أطر مرجعية محلية غير مفضلة ، باستخدام نموذج يضع افتراضات حول القصور الذاتي والجذب الجماعي. ثم يتم استخدام التكنولوجيا على كوكب آخر ، حيث يتم استخدام الافتراضات نفسها ويبدو أن التكنولوجيا تعمل بشكل جيد. لذلك كل ما يمكن أن يستنتجه توم هو أن النموذج يمكنه تقريب الواقع في إطار مرجعي محلي ينتج عنه بعض النتائج الجيدة باستخدام القوى المحلية والجاذبية الجماعية المحلية.

يمكن لمركزية الأرض فعل الشيء نفسه. يمكننا أن ندعي أن الأرض هي الإطار المرجعي المفضل فيما يتعلق ببقية الكون بسبب الهيكل الواسع النطاق للكون الذي يتم بناؤه حول الأرض. يمكننا بعد ذلك تقريب قوى وقيمة كتلة جسم ما واستخدام ميكانيكا نيوتن في إطار محلي. هذا لا يزيل ولا يتعارض مع الادعاء الجغرافي للأرض ككائن ثابت داخل الكون ، لأنه يمكن استخدام الأرض رياضيًا كإطار مرجعي مطلق وكإطار مرجعي محلي. من الناحية الحسابية ، فإن الأرقام تعمل بنفس الطريقة.

توم - هذا محض هراء. إن التقدم التكنولوجي الذي تمتع به المجتمع البشري على مدى الثلاثمائة عام الماضية هو ثمرة لقدرتنا على فهم تلك القوانين الفيزيائية والعمل ضمن قيودها.

JM & # 8211 هذا مجرد ادعاء قدمه توم ، بناءً على فرضية خاطئة. يمكن لمركزية الأرض رياضيًا (وفقًا لمعادلات نيوتن & # 8217) استخدام الأرض كإطار مرجعي مفضل فيما يتعلق ببقية الكون ، أو كإطار مرجعي محلي. عندما نرى بنية الكون واسعة النطاق والعديد من التجارب التي توضح أن الأرض ثابتة ، فإننا نستنتج أن الأرض ثابتة تجريبياً. يمكننا أيضًا استخدام ميكانيكا نيوتن كإطار محلي ، مع العلم أن الجاذبية والقصور الذاتي ناتجا حقًا عن تدفق الأرض وليس الانجذاب الجماعي وحركة الجسم.

ومع ذلك ، في أمثلة تومز للسرعة الثابتة لنقل الطائرة ، يفترض هذا أن الجسم على متن الطائرة يمكن أن يتصرف كما لو أن الطائرة ثابتة. تمامًا مثلما يفترض النيوتونيون أن الأرض ثابتة عندما يصنعون تقنيتهم. تمامًا مثلما يفترض أنصار مركزية الأرض أن الأرض ثابتة بنفس الطريقة التي يفعل بها نيوتن.


التحولات المنسقة الجيوفيزيائية

نُشرت في الأصل في الديناميكا الكهربائية الكونية ، 2، 184-196، 1971. جميع الحقوق محفوظة. حقوق النشر 1971 من قبل D. Reidel ، شركة النشر Dordrecht-Holland. (تم استلامه في ١٢ يناير ١٩٧١ بصيغة منقحة في ٢٦ مارس ١٩٧١)

محتويات

الملخص .

مقدمة

يتم استخدام العديد من أنظمة الإحداثيات المختلفة في العمل التجريبي والنظري حول العلاقات الشمسية-الأرضية. تُستخدم أنظمة الإحداثيات هذه لعرض مسارات الأقمار الصناعية ومواقع الحدود وقياسات مجال المتجهات. تنشأ الحاجة إلى أكثر من نظام إحداثي واحد من حقيقة أن العمليات الفيزيائية المختلفة غالبًا ما تكون أكثر فهمًا ، والبيانات التجريبية أكثر ترتيبًا ، أو إجراء العمليات الحسابية بسهولة أكبر في واحد أو آخر من الأنظمة المختلفة. في كثير من الأحيان ، من الضروري التحول من نظام إلى آخر من هذه الأنظمة. من الممكن اشتقاق التحول من نظام إحداثيات إلى آخر من حيث العلاقات المثلثية بين الزوايا المقاسة في كل نظام عن طريق معادلات حساب المثلثات الكروية (ذكي، 1944) ، ومع ذلك ، قد يكون استخدام هذه التقنية معقدًا للغاية ويمكن أن يؤدي إلى علاقات معقدة نوعًا ما. ومع ذلك ، يتم استخدام هذه الطريقة في بعض الأحيان. يمكن العثور على مثال حديث على استخدام هذه التقنية للتحول من إحداثيات جغرافية إلى إحداثيات مغنطيسية أرضية في ميد (1970).

أسلوب آخر هو العثور على زوايا دوران أويلر المطلوبة وإنشاء مصفوفات الدوران المرتبطة بها. ثم يمكن مضاعفة مصفوفات الدوران هذه لإعطاء مصفوفة تحويل واحدة (غولدشتاين، 1950). إن شكلية المصفوفة المتجهية جذابة ليس فقط لأنها تسمح بتمثيل مختزل للتحول ، ولكن أيضًا لأنها تسمح بإجراء تحويلات متعددة بسهولة عن طريق ضرب المصفوفة والتحول العكسي ليتم اشتقاقها بسهولة.

ومع ذلك ، لا يلزم اشتقاق المصفوفات المطلوبة لتحويلات التنسيق من زوايا دوران أويلر. الغرض من هذه الملاحظة هو شرح كيفية اشتقاق تحويلات الإحداثيات هذه دون اشتقاق زوايا دوران أويلر المطلوبة بالإضافة إلى وصف أنظمة الإحداثيات الأكثر شيوعًا المستخدمة في مجال العلاقات الأرضية الشمسية.

يمكن أيضًا العثور على مناقشات تحويلات الإحداثيات لبعض أنظمة الإحداثيات التي سيتم معالجتها في هذا التقرير في أوراق بواسطة أولسون (1970) ، وبواسطة فرع المجالات المغناطيسية والكهربائية (1970) من مركز جودارد لرحلات الفضاء. تختلف الورقة السابقة عن العمل الحالي بشكل أساسي في التدوين وعدد الأنظمة التي تمت معالجتها. الفرق الآخر هو أن مدار الأرض يعتبر دائريًا في علاج أولسون. تصف الورقة الأخيرة أنظمة الإحداثيات وتقدم مصفوفات التحويل المطلوبة ولكن بدون اشتقاق. نظرًا لأن نفس نظام الإحداثيات قد يتلقى اسمًا مختلفًا في كل معاملة ، فإن الجدول الأول يسرد الأسماء والاختصارات المستخدمة في هاتين الورقتين والعمل الحالي لتلك الأنظمة المشتركة بين اثنين أو أكثر منهم.

الجدول الأول

2. ملاحظات عامة

في تحديد نظام إحداثيات ، بشكل عام ، تختار كميتين: اتجاه أحد المحاور واتجاه المحورين الآخرين في المستوى المتعامد مع هذا الاتجاه. غالبًا ما يتم تحديد هذا الاتجاه الأخير من خلال اشتراط أن يكون أحد المحورين المتبقيين متعامدًا على بعض الاتجاهات. الميزة المحظوظة لمصفوفات الدوران (المصفوفة التي تحول المتجه من نظام إلى آخر) هي أن العكس هو ببساطة تبديله. وهكذا ، إذا كانت المصفوفة أ يحول المتجه V المقاس في النظام أ إلى V تقاس في النظام ب، إذن المصفوفة التي تحول V إلى V هي A. وهكذا يمكننا أن نكتب

أبسط طريقة للحصول على مصفوفة التحويل أ هو العثور على اتجاهات محاور الإحداثيات الثلاثة الجديدة للنظام ب في النظام القديم (النظام أ). إذا كان جيب التمام لاتجاه X الجديد المعبر عنه في النظام القديم هو (X ، X ، X) ، فإن الاتجاه Y الجديد هو (Y ، YY) والاتجاه Z الجديد هو (Z ، Z ، Z) ، ثم يتم تشكيل مصفوفة الدوران بواسطة هذه المتجهات الثلاثة في شكل صفوف ، أي

(X X X) (V) = (V)
(YY Y) (V) = (V)
(Z Z Z) (V) = (V)
وبالمثل فإن التحول من النظام ب إلى أ هو
(X Y Z) (V) = (V)
(X Y Z) (V) = (V)
(X Y Z) (V) = (V)

الخصائص التالية لمصفوفات التدوير مفيدة لفحص الأخطاء. (1) كل صف وعمود هو متجه وحدة. (2) حاصل الضرب النقطي لأي صفين أو عمودين يساوي صفرًا. (3) الناتج العرضي لأي صفين أو عمودين يساوي الصف أو العمود الثالث أو سالبه. (الصف 1 المتقاطع الصف 2 يساوي الصف 3 الصف 2 الصف المتقاطع 1 يساوي ناقص الصف 3.)

النظام الاستوائي بالقصور الذاتي (GEI) له خصائصه X- المحور الذي يتجه من الأرض نحو النقطة الأولى من برج الحمل (موقع الشمس عند الاعتدال الربيعي). هذا الاتجاه هو تقاطع المستوى الاستوائي للأرض ومستوى مسير الشمس وبالتالي يقع المحور X في كلا المستويين. ال ض-المحور موازٍ لمحور دوران الأرض و ص يكمل المجموعة المتعامدة اليمنى (Y = Z X).

هذا هو النظام المستخدم بشكل شائع في علم الفلك وحسابات مدار القمر الصناعي. يتم قياس زوايا الصعود والانحدار الأيمن في هذا النظام. إذا (الخامس, الخامس ,الخامس) هو متجه في GEI بحجم الخامس، ثم صعوده الأيمن ، هو تان (V / V) ، 0 o 180 o إذا كان V 0 ، 180 o 360 o إذا كان V 0. انحرافه ، هو sin V / V ، -90 o 90 o.

يتم تعريف نظام الإحداثيات الجغرافية (GEO) بحيث يكون X-المحور موجود في المستوى الاستوائي للأرض ولكنه ثابت مع دوران الأرض بحيث يمر عبر خط الزوال غرينتش (0 o خط الطول). انها ض-المحور موازٍ لمحور دوران الأرض ومحورها ص-المحور يكمل مجموعة متعامدة اليمنى (Y = Z X).

يستخدم هذا النظام لتحديد مواقع المراصد الأرضية ومحطات الإرسال والاستقبال. يتم تحديد خطوط الطول والعرض في هذا النظام بنفس الطريقة التي يتم بها تحديد الصعود والانحدار الأيمن في GEI.

منذ أنظمة إحداثيات GEO و GEI لها ض- المحاور المشتركة ، نحتاج فقط إلى معرفة موضع النقطة الأولى في برج الحمل ( X-محور GEI) بالنسبة إلى خط الزوال غرينتش لتحديد التحويل المطلوب. إذا سمحنا للزاوية بين خط زوال غرينتش والنقطة الأولى من برج الحمل بقياس شرقاً من أول نقطة لبرج الحمل في خط استواء الأرض 0، ثم تكون النقطة الأولى من برج الحمل عند (cos، -sin، 0) في النظام الجغرافي والتحول من جغرافي إلى مؤشر GEI هو

(cos -sin 0) (V) = (V)
(الخطيئة كوس 0) (الخامس) = (الخامس)
(0 0 1) (الخامس) = (الخامس)

والتحول العكسي

(cos -sin 0) (V) = (V)
(الخطيئة كوس 0) (الخامس) = (الخامس)
(0 0 1) (الخامس) = (الخامس)

الزاوية ، بالطبع ، دالة للوقت من اليوم والوقت من السنة ، حيث أن الأرض تدور 366.25 مرة في السنة حول محورها في الفضاء بالقصور الذاتي ، بدلاً من 365.25 مرة. وبالتالي ، فإن مدة اليوم ، بالنسبة إلى الفضاء بالقصور الذاتي ، (يوم فلكي) أقل من 24 ساعة. تسمى الزاوية بـ Greenwich Mean Sidereal Time ، ويمكن حسابها باستخدام الصيغ الواردة في الملحق 2.

3.3 التنسيق الجيومغناطيسي

يتم تعريف نظام الإحداثيات المغنطيسية الأرضية (MAG) بحيث يكون ض-المحور موازٍ لمحور ثنائي القطب المغناطيسي. الإحداثيات الجغرافية للمحور ثنائي القطب من الحقل المرجعي الجيومغناطيسي الدولي 1965.0 (IGRF) هي 11.435 o خط الخلط و 69.761 o شرق خط الطول (ميد ، 1970). وهكذا ض- المحور (0.06859، -0.18602، 0.98015) في إحداثيات جغرافية. ال ص- محور هذا النظام عمودي على القطبين الجغرافيين بحيث إذا كان D هو موضع ثنائي القطب و S هو القطب الجنوبي Y = D S. أخيرًا ، X-المحور يكمل مجموعة متعامدة اليمنى.

غالبًا ما يستخدم هذا النظام لتحديد موقع المراصد المغناطيسية. كما أنه نظام مناسب للقيام بتتبع خط المجال عند النظر في الأنظمة الحالية ، بالإضافة إلى المجال الداخلي للأرض (ميد، 1970). يتم قياس خط الطول المغناطيسي باتجاه الشرق من X-المحور وخط العرض المغناطيسي يقاسان من خط الاستواء في خطوط الطول المغناطيسية ، موجب شمالاً وسالب جنوباً. وبالتالي ، إذا كان (V ، V ، V) متجهًا في نظام MAG بحجم الخامس ثم خط الطول المغناطيسي ، هو
تان (V / V) ، 0 o 180 o إذا كان V 0 ، 180 o 360 o إذا كان V 0 o. خط العرض المغناطيسي ، هو sin V / V ، -90 o 90 o.

باستثناء بالقرب من القطبين ، سيكون خط الطول المغناطيسي عمومًا أكبر بحوالي 70 درجة من خط الطول الجغرافي. نلاحظ وجود تمثيل ديكارتي بسيط للمجال المغناطيسي ثنائي القطب في هذا النظام (انظر الملحق 1).

هذا النظام ثابت في الأرض الدوارة وبالتالي يكون التحول من نظام الإحداثيات الجغرافية إلى النظام المغنطيسي الأرضي ثابتًا. من التعريفات أعلاه نحصل عليها

(0.33907، -0.91964، -0.19826) (V) = (V)
(0.93826، 0.34594، 0) (V) = (V)
(0.06859 ، 0.18602 ، 0.98015) (V) = (V)

3.4. النظام الجيوفيزيائي الطموح الشمسي

نظام الكسوف الشمسي الأرضي (GSE) له خصائصه X- محور متجه من الأرض نحو الشمس وشمسها ص- تم اختيار المحور ليكون في مستوى مسير الشمس مشيرًا إلى الغسق (وبالتالي معارضة حركة الكواكب). انها ض-المحور موازٍ لقطب مسير الشمس. بالنسبة إلى نظام القصور الذاتي ، فإن هذا النظام له دورة سنوية.

تم استخدام هذا النظام لعرض مسارات الأقمار الصناعية ، ورصد المجال المغناطيسي بين الكواكب ، وبيانات سرعة الرياح الشمسية. النظام مفيد للشاشة الأخيرة حيث يمكن بسهولة إزالة انحراف الرياح الشمسية في هذا النظام لأن سرعة الأرض تقارب 30 كم / ثانية في الطرح ص اتجاه. ومع ذلك ، نظرًا لأن التأثير المهم الوحيد للحركة المدارية للأرض في العلاقات الشمسية الأرضية هو التسبب في الانحراف ، فإن الخيارات الأخرى لتوجيه ص و ض-الضرائب حول X- تم استخدام المحور. سوف تناقش هذا في وقت لاحق.

يتم قياس خط الطول ، كما هو الحال مع النظام الجغرافي ، في X-Y الطائرة من X-المحور نحو ص-المحور وخط العرض هو زاوية الخروج من X-Y الطائرة ، موجب مقابل موجب ض عناصر.

التحول المطلوب الأكثر شيوعًا إلى نظام GSE لتلك التي تمت مناقشتها حتى الآن هو من نظام GEI. اتجاه قطب مسير الشمس (0 ، -0.398 ، 0.917) ثابت في نظام GEI. ال X- يمكن الحصول على المحور ، وهو اتجاه الشمس ، في مؤشر الإنجاب العالمي من المعادلات الواردة في الملحق 2. إذا كان هذا الاتجاه هو (S ، S ، S) ، فعندئذٍ ص- المحور في GEI (Y، Y، Y) هو

والتحول

(S S S) (V) = (V)
(Y Y Y) (V) = (V)
(0 -0.398 0.917) (V) = (V)

3.5 النظام الاستوائي الجيوسينيتي الشمسي

إن النظام الاستوائي الشمسي ذي مركز الأرض (GSEQ) كما هو الحال مع نظام GSE له خصائصه X- محور يشير إلى الشمس من الأرض. ومع ذلك ، بدلا من أن يكون لها ص-المحور في مستوى مسير الشمس ، GSEQ ص-المحور موازٍ لمستوى الشمس الاستوائي الذي يميل إلى مسير الشمس. نلاحظ ذلك منذ X-المحور موجود في مستوى مسير الشمس ، وبالتالي ليس بالضرورة في المستوى الاستوائي للشمس ض- لن يكون محور هذا النظام بالضرورة موازيًا لمحور دوران الشمس. ومع ذلك ، يجب أن يقع محور دوران الشمس في X-Z طائرة. ال ض- تم اختيار المحور ليكون بنفس معنى قطب مسير الشمس ، أي باتجاه الشمال.

تم استخدام هذا النظام على نطاق واسع لعرض بيانات المجال المغناطيسي بين الكواكب بواسطة مجموعة مقياس المغناطيسية Ames (كولبورن، 1969). نلاحظ أن هذا النظام مفيد في طلب البيانات التي تتحكم فيها الشمس ، وبالتالي فهو تحسين على استخدام نظام GSE لدراسة المجال المغناطيسي بين الكواكب والرياح الشمسية. ومع ذلك ، لدراسة تفاعل الوسط بين الكواكب مع الأرض ، فإن النظام الثالث أكثر ملاءمة.

محور دوران الشمس R لديه صعود يمين -74.0 o وميل 63.8 o. إذن R تساوي (0.122، -0.424، 0.899) في مؤشر الإنجاب. للتحول من GEI إلى GSEQ ، يجب أن نعرف موقع الشمس (S ، S ، S) في GEI (انظر الملحق 2). ثم ص-المحور في GEI (Y ، Y ، Y) موازٍ لـ R S. لاحظ أنه نظرًا لأن الضرب التبادلي لمتجهي الوحدة ليس متجهًا للوحدة إلا إذا كانا متعامدين مع بعضهما البعض ، يجب تسوية هذا الضرب العرضي. وأخيرا، فإن ض- المحور في GEI (Z ، Z ، Z) = S Y. ثم

(S S S) (V) = (V)
(Y Y Y) (V) = (V)
(Z Z Z) (V) = (V)

نظرًا لأن كل من أنظمة إحداثيات GSE و GSEQ لها X- المحاور الموجهة للشمس تختلف فقط بالدوران حول X-محور. وبالتالي يجب أن تكون مصفوفة التحويل من GSE إلى GSEQ بالشكل

(1 0 0) (V) = (V)
(0 cos -sin) (V) = (V)
(0 خطيئة كوس) (الخامس) = (الخامس)

إذا كانت التحولات من GEI إلى GSE و GEI إلى GSEQ معروفة ، فيمكن تحديد الزاوية بفحص الزاوية بين ص- المحاور في النظامين أو ض- المحاور (أي الزاوية بين المتجهات المكونة من الصف الثاني من كل مصفوفة أو الصف الثالث). في حالة عدم توفر مصفوفات التحويل هذه ، يمكن حسابها من الصيغة التالية

Sin = S. (0.031، -0.112، -0.049) / | (0.122، -0.424، 0.899) | س

حيث S هو موضع الشمس في GEI ويمكن حسابه من الصيغ في الملحق 2. نظرًا لأن محور دوران الشمس يميل 7.25 o إلى مسير الشمس ، يتراوح من -7.25 o (في 5 ديسمبر تقريبًا) إلى 7.25 o ( في 5 يونيو) من كل عام. يتم توجيه محور دوران الشمس بشكل أكبر نحو الأرض في 5 سبتمبر تقريبًا وفي ذلك الوقت تصل الأرض إلى أقصى خط عرض شمالي لها. في هذا الوقت يساوي 0.

3.6 النظام المغنطيسي الشمسي الجيوفيزيائي

نظام الغلاف المغناطيسي الشمسي الأرضي (GSM) ، كما هو الحال مع كل من أنظمة GSE و GSEQ ، له X-المحور من الأرض إلى الشمس. ال ص- يُعرَّف المحور بأنه عمودي على ثنائي القطب المغناطيسي للأرض بحيث يكون X-Z يحتوي المستوى على محور ثنائي القطب. الإيجابية ض- يتم اختيار المحور ليكون بنفس معنى القطب المغناطيسي الشمالي. الفرق بين نظام GSM و GSE و GSEQ هو مجرد دوران حول X-محور.

يفيد هذا النظام في عرض مواضع التوقف المغناطيسي وحدود الصدمة ، والغشاء المغناطيسي والمجالات المغناطيسية ذات الذيل المغناطيسي وسرعات الرياح الشمسية المغنطيسية لأن اتجاه المحور ثنائي القطب المغناطيسي يغير التناظر الأسطواني لتدفق الرياح الشمسية. كما أنها تستخدم في نماذج التيارات المغناطيسية (أولسون، 1969). إنه يقلل من الحركة ثلاثية الأبعاد لثنائي أقطاب الأرض في GEI ، GSE ، وما إلى ذلك ، إلى الحركة في المستوى ( X-Z طائرة). زاوية القطب الشمالي المغناطيسي إلى GSM ض- يسمى المحور بزاوية الميل ثنائي القطب ويكون موجبًا عندما يميل القطب المغناطيسي الشمالي نحو الشمس. بالإضافة إلى فترة سنوية بسبب حركة الأرض حول الشمس ، فإن نظام الإحداثيات هذا يهتز حول اتجاه الشمس خلال فترة 24 ساعة. نلاحظ ذلك منذ ص-المحور عمودي على المحور ثنائي القطب ، و ص- يكون المحور دائمًا في خط الاستواء المغناطيسي ولأنه عمودي على خط الأرض والشمس ، فهو في خط الزوال عند الفجر والغسق (مشيرًا إلى الغسق). يتم قياس خط الطول GSM في X-Y طائرة من X من اتجاه ص وخط العرض هو الزاوية باتجاه الشمال من X-Y طائرة. ومع ذلك ، يتم استخدام مجموعة أخرى من الزوايا القطبية الكروية في بعض الأحيان. هنا الزاوية بين المتجه و X-المحور ، يسمى زاوية مسبار الشمس والأرض (SEP) أو زاوية الشمس والأرض والقمر الصناعي (SES) هي الزاوية القطبية وزاوية المتجه المسقط في YZ المستوى هو الزاوية السمتي. يقاس من الموجب ص-محور تجاه الإيجابي ض-محور.

للتحول من GEI إلى GSM ، نحتاج إلى معرفة موقع الشمس في GEI وموقع المحور ثنائي القطب للأرض. يمكن الحصول على موضع الشمس S (S ، S ، S) من الملحق 2. يجب الحصول على موضع ثنائي القطب D بالتحويل من الإحداثيات الجغرافية (انظر القسم 2). في الإحداثيات الجغرافية ، يكون ثنائي القطب عند خط الطول 11.435 درجة مئوية وخط الطول 69.761 درجة شرقًا (حقبة IGRF 1965.0). وبالتالي فإن D في الإحداثيات الجغرافية هي (0.06859 -0.18602،0.98015). إذا تم تحويل D 'إلى D إلى GEI ، فإن ص-المحور هو

نلاحظ أن عامل التطبيع يحدث لأن D 'و S ليسا متعامدين بالضرورة. أخيرًا ، Z تساوي S Y ويصبح التحول

(S S S) (V) = (V)
(Y Y Y) (V) = (V)
(Z Z Z) (V) = (V)

شكل مصفوفة التحويل بين GSM و GSE أو GSEQ

(1 0 0 )
(0 cos -sin)
(0 خطيئة كوس)

ومع ذلك ، نظرًا لأنه يتغير مع الوقت من اليوم والوقت من السنة ، فإنه لا يمكن اشتقاقه من معادلة بسيطة. ومع ذلك ، إذا كانت مصفوفة التحويل من GEI إلى GSE ، A ومن GEI إلى GSM ، A معروفة ، فإن التحول من GSM إلى GSE يكون بسيطًا A ، A حيث A هي تبديل A. من GSM إلى GSEQ. نلاحظ أن سعة الاختلاف النهاري هي 11.4 o والتي تضاف إلى تباين سنوي قدره 23.5 o.

3.7 ينسق المغناطيسية الشمسية

في الإحداثيات المغناطيسية الشمسية (SM) ض- يتم اختيار المحور بالتوازي مع القطب المغناطيسي الشمالي و ص- محور عمودي على خط الأرض والشمس باتجاه الغسق. الفرق بين هذا النظام ونظام GSM هو تناوب حول ص-محور. مقدار الدوران هو ببساطة زاوية الميل ثنائي القطب كما هو محدد في القسم السابق. نلاحظ أنه في هذا النظام X- لا يشير المحور مباشرة إلى الشمس. كما هو الحال مع نظام GSM ، يدور نظام SM بفترات سنوية ويومية فيما يتعلق بالإحداثيات بالقصور الذاتي.

The solar magnetic system is useful for ordering data controlled more strongly by the Earth's dipole field than by the solar wind. It has been used for magnetopause cross sections and magnetospheric magnetic fields. We note that since the dipole axis and the Z-axis of this system are parallel the cartesian components of the dipole magnetic field are particularly simple in this system (see Appendix 1).

As for GSM, the transformation from GEI to SM requires a knowledge of the Earth Sun direction S, and the dipole direction D in GEI. Having obtained these as in Section 3.6, we find Y=(D S)/ ( D S ) and X=Y D. Then the transformation becomes

(X X X ) (V) = (V)
(Y Y Y) (V) = (V)
(D D D) (V) = (V)

The transformation from GSM to SM is simply a rotation about the Y-axis by the dipole tilt angle . Thus

(cos 0 -sin ) (V) = (V)
( 0 1 0 ) (V) = (V)
(sin 0 cos ) (V ) = (V)

3.8. DIPOLE MERIDIAN SYSTEM

As with the solar magnetic system, the Z-axis of the dipole meridian system (DM) is chosen along the north magnetic dipole axis. ومع ذلك ، فإن Y-axis is chosen to be perpendicular to a radius vector to the point of observation rather than the Sun. The positive Y direction is chosen to be eastwards, so that the X-axis is directed outwards from the dipole. This is a local coordinate system, in that it varies with position, however, since the X-Z plane contains the dipole magnetic field it is quite useful.

It is used to order data controlled by the dipole magnetic field where the influence of the solar wind interaction with the magnetosphere is weak. It has been used extensively to describe the distortions of the magnetospheric field in terms of the two angles declination and inclination which can be easily derived from measurements in this system (Mead and Cahill, 1967). The inclination, أنا, is simply the angle that the field makes with the radius vector minus 90. Thus, if ر is the unit vector from the center of the Earth to the point of observation in the DM system (we note that in this system Ry=0), and b is the direction of the magnetic field in the DM system, then أنا= cos (R b +R b) -90 o . The declination, D, is measured about the radius vector with D=0 in the X-Z plane and positive D angles for positive b. Thus D=tan [b/(R b+R b)], 0 o D 180 o for 0 b 1 and 0 o D 180 o for 0 b -1. As in the SM system, the cartesian components of the dipole field can be expressed very simply in this system. In particular, B = 0 by definition.

To transform from any system to the dipole meridian system we must know the dipole axis, D, in this system, and the unit position vector of the point of observation relative to the center of the Earth. Since Y is perpendicular to ر و D ومن بعد Y = (D R)/( D R ) and X=D Y. Thus

(X X X ) (V) = (V)
(Y Y Y) (V) = (V)
(D D D) (V ) = (V)

We note that this transformation usually is particularly straight forward from geographic coordinates because the geographic latitude and longitude of a point of observation is often known and the dipole is fixed in geographic coordinates. From geomagnetic coordinates it is simple rotation about the Z-axis by the magnetic longitude. From solar magnetic co-ordinates, it is a rotation about the Z-axis by the angle between the projections of the Sun and the local radius vector in the magnetic equator.

3.9. ATS-1 COORDINATE SYSTEMS

Two coordinate systems have been used extensively in the analysis of the magnetometer data from the ATS-1 satellite which differ slightly from previously described coordinate systems. The ATS XYZ system is the coordinate system in which the ATS magnetometer data are originally obtained. ال Z-axis is parallel to the Earth's rotation axis. Thus, it is parallel to the Z-axis of the geographic, and GEI systems. ومع ذلك ، فإن Y-axis is chosen perpendicular to the Earth-Sun line towards dusk. ال X-axis completes a right handed orthogonal set. Thus the X-Y plane is the Earth's rotational equator with X in the noon meridian.

The other ATS coordinate system is ATS VDH. In this system ح is chosen parallel to the Earth's spin axis. V is the local vertical. Since ATS-1 is in the Earth's equatorial plane, V is perpendicular to ح. Finally, D, completes the right-handed set (D = H V) and is azimuthal, eastwards in the equatorial plane. The transformation between the ATS XYZ and ATS VDH systems is

( cos sin 0) (B) = (B)
(-sin cos 0) (B) = (B)
( 0 0 1) (B) = (B)

3.10 OTHER COORDINATE SYSTEMS

All the coordinate systems described so far have been geocentric and, with the exception of the dipole meridian system and the ATS VDH system, have been independent of the position of the point of observation. When considering measurements far from the Earth, it is often useful to choose coordinate systems which are dependent on the position of the observation point rather than the position of the Earth. For example, Coleman et al. (1969) use a system analogous to the GSEQ system but with the Mariner 4 - Sun line as the X-axis. We note, however, they have chosen their three axes anti-parallel to the axes of the analogous GSEQ system and thus their right-handed triad of coordinates is a noncyclic permutation of these three antiparallel vectors. For studying solar-planetary interactions, the required modifications to alter the transformations given in the previous sections to those relevant to the problem being considered should be obvious.

However, there is another class of cartesian coordinate systems that can be used: those based on a local measurement. For example, one may wish to define a coordinate system in which the solar wind flow is parallel to one of the coordinate axes. This could be done in coordinate systems such as GSE, GSEQ and GSM by replacing the position of the Sun by the vector antiparallel to the observed solar wind flow. The second condition for choosing the coordinate system would be that the Y-axis is perpendicular to the solar wind and the ecliptic pole (for GSE) and the Sun's rotation axis (for GSEQ) and the Earth's dipole (for GSM). However, we note that in GSE, the Z-axis will no longer necessarily be parallel to the ecliptic pole since the solar wind flow need not be in the ecliptic plane.

Another way of choosing the system is to choose one axis along the measured magnetic field. As before, we are now left with the choice of the orientation of the other two axes about this one. In the solar wind it is often useful to choose one of these two axes perpendicular to the plane defined by the magnetic field and the solar wind flow velocity. In the magnetosphere, it is convenient to choose one of these two axes to be perpendicular to a dipole magnetic meridian.

Finally, since it is much easier to visualize data and spacecraft trajectories in two dimensions rather than three, mention should be made of a two dimensional coordinate system in common use. Since the solar wind, neglecting the magnetic field is approximately cylindrically symmetric about the radial direction from the Sun, if it interacts with a figure of revolution about the Earth-Sun line such as a planet, the interaction should be the same in every plane containing the planet-Sun line. In other words, while the interaction may be a function of radial distance and the angle away from the planet-Sun line (SES or SEP angle in the case of the Earth), it is not a function of the azimuthal angle around the planet Sun line. The Earth's magnetosphere is not cylindrically symmetric about the solar wind flow. However, in the dawn-dusk plane the calculated magnetopause position should deviate less than about 20% from cylindrical (Olson, 1969). Thus, it is not unreasonable at times to assume cylindrical symmetry for the interaction.

This coordinate system may be thought of in several ways. (1) It is a cylindrical coordinate system with the variables ص, , X أين ص is the distance from the axis of the cylinder, X is the distance along the axis, and is the angle around the axis. In plotting a spacecraft trajectory in this system, we would plot ص vs X. (2) It is a polar coordinate system where we plot the magnitude of the vector versus the angle between the vector and the planet-Sun line. (3) It is a two dimensional cartesian coordinate system where we plot the component along the planet-Sun line versus the square root of the sum of the squares of the other two components. This system has been used to describe the trajectory of spacecraft near encounters with other planets and to plot the positions of magnetopause and bow shock crossings by Earth orbiting spacecraft.

Appendix 1. The Cartesian Representation of a Dipole Magnetic Field

The usual representation of a dipole magnetic field is one which separates the field into a radial and tangential component. This gives the magnetic field in a local two dimensional coordinate system. However, a very simple representation of the field exists in a cartesian coordinate system also (Alfven and Falthammar, 1963). If (X, Y, Z) is the location of the point of observation in solar magnetic coordinates, the field due to the Earth's dipole is

B = 3XZ (B/R)
B = 3YZ (B/R)
B = (3Z - R) (B/R)

where R = X + Y +Z and B is the magnetic moment of the Earth. B is numerically equal to the field at the equator on the surface of the Earth if distances are measured in Earth radii.

We note that the same formula is valid for any coordinate system which is a rotation about the dipole from the solar magnetic coordinate system. In particular, it is valid for the dipole meridian system in which case B =0. With the knowledge of the dipole tilt angle the above representation also allows a simple derivation of the dipole field in GSM coordinates (cf. Section 7).

Appendix 2. The Calculation of the Position of the Sun

G.D. Mead (private communication) has written a simple subroutine to calculate the position of the Sun in GEI coordinates. It is accurate for years 1901 through 2099, to within 0.006 deg. The input is the year, day of year and seconds of the day in UT. The output is Greenwich Mean Sideral Time in degrees, the ecliptic longitude, apparent right ascension and declination of the Sun in degrees. The listing of this program follows. We note that the cartesian coordinates of the vector from the Earth to the Sun are:

Acknowledgements

I am indebted to G. D. Mead for allowing the inclusion of his subroutine for the determination of the position of the Sun. I also wish to acknowledge many useful discussions of coordinate transformations with P. J. Coleman, Jr., D. S. Colburn, M. G. McLeod, G. D. Mead, W. P. Olson and R. L. Rosenberg. This work was carried out in support of the data reduction program of the UCLA OGO5 flux gate magnetometer and was supported by the National Aeronautics and Space Administration under NASA contract NAS 59098.

مراجع

Colburn, D. S.: 1969, 'Description of Ames Magnetometer Data from Explorer 33 and 35 Deposited in the Data Bank', NASA/Ames Research Center Report.

Coleman, P. J., Jr., Smith, E. J., Davis, L., Jr., and Jones, D. E.: 1969, J. Geophys. Res. 74 (11), 26.

Goldstein, H.: 1950, Classical Mechanics, Addison Wesley Publ. Co., Inc., Reading Massachusetts.

Magnetic and Electric Fields Branch: 1970, `Coordinate Transformations Used in OGO Satellite Data Analysis', Goddard Space Flight Center Report, X-645-70-29.

Mead, G. D.: 1970, J. Geophys. Res. 75, 4372.

Mead, G. D. and Cahill, L. J.: 1967, J. Geophys. Res., 72 (11), 2737.

Olson, W. P.: 1969, J. Geophys. Res. 74 (24), 5642.

Olson, W. P.: 1970, `Coordinate Transformations Used in Magnetospheric Physics', McDonnell Douglas Astronautics Company Paper WD1145.

Smart, W. M.: 1944, Text-Book on Spherical Astronomy, Fourth Edition, Cambridge Univ. Press, Cambridge.


Datum maintenance of the main Egyptian geodetic control networks by utilizing Precise Point Positioning “PPP” technique

A geodetic control network is the wire-frame or the skeleton on which continuous and consistent mapping, Geographic Information Systems (GIS), and surveys are based. Traditionally, geodetic control points are established as permanent physical monuments placed in the ground and precisely marked, located, and documented. With the development of satellite surveying methods and their availability and high degree of accuracy, a geodetic control network could be established by using GNSS and referred to an international terrestrial reference frame used as a three-dimensional geocentric reference system for a country. Based on this concept, in 1992, the Egypt Survey Authority (ESA) established two networks, namely High Accuracy Reference Network (HARN) and the National Agricultural Cadastral Network (NACN). To transfer the International Terrestrial Reference Frame to the HARN, the HARN was connected with four IGS stations. The processing results were 1:10,000,000 (Order A) for HARN and 1:1,000,000 (Order B) for NACN relative network accuracy standard between stations defined in ITRF1994 Epoch1996. Since 1996, ESA did not perform any updating or maintaining works for these networks.

To see how non-performing maintenance degrading the values of the HARN and NACN, the available HARN and NACN stations in the Nile Delta were observed. The Processing of the tested part was done by CSRS-PPP Service based on utilizing Precise Point Positioning “PPP” and Trimble Business Center “TBC”. The study shows the feasibility of Precise Point Positioning in updating the absolute positioning of the HARN network and its role in updating the reference frame (ITRF). The study also confirmed the necessity of the absent role of datum maintenance of Egypt networks.


Altamimi Z, Sillard P, Boucher C (2002) ITRF2000: a new release of the International Terrestrial Reference Frame for earth science applications. J Geophys Res 107(B10):ETG2/1–19

Beavan J, Tregoning P, Bevis M, Kato T, Meertens C (2002) The motion of the Pacific plate and implications for plate boundary deformation. J. Geophys Res 107(B10):ETG19/1–15

Boucher C, Altamimi Z (2000) Transformation parameters and their rates from ITRF 2000 to previous frames (ftp://lareg.ensg.ign.fr/pub/itrf/ITRF.TP)

Boucher C, Altamimi Z (2001) Memo: specifications for reference frame fixing in the analysis of a EUREF GPS campaign (fttp://lareg.ensg.ign.fr/EUREF/memo.pdf)

Boucher C, Altamimi Z, Sillard P (1999) The 1997 International Terrestrial Reference Frame (ITRF97). IERS Tech Note 27, Central Bureau IERS, Observatoire de Paris, Paris

Craymer M, Ferland R, Snay RA (2000) Realization and unification of NAD 83 in Canada and the U.S. via the ITRF. In: Rumel R, Drewes H, Bosch W, Hornik H (eds) Towards an Integrated Global Geodetic Observing System (IGGOS). IAG Sect II Symp, 5–9 October 1998, Munich. International Association of Geodesy Symposia, vol 120. Springer, Berlin Heidelberg New York, pp 118–121

Featherstone WE (1996) An updated explanation of the Geocentric Datum of Australia (GDA) and its effects upon future mapping. Aust Surv 41:121–130

Hernández-Navarro A (1992) La Red Nacional Activa de México. Rev Cartogr 61:141–148

Kaula WM (1966) Theory of satellite geodesy. Blaisdell, Waltham, MA

McCarthy D (ed) (1996) IERS Technical Note 21. Observatoire de Paris, Paris

Mueller II (1969) Spherical and practical astronomy as applied to geodesy. Ungar, New York

Schwarz CR (ed) (1989) North American Datum of 1983. NOAA Prof Pap no 2, US Dept Commerce, Natl Oceanic Atmos Admin

Sella GF, Dixon TH, Mao A (2002) REVEL: a model for recent plate velocities from space geodesy. J Geophys Res 107(B4):ETG11/1–29

Sillard P, Altamimi Z, Boucher C (1998) The ITRF96 realization and its associated velocity field. Geophys Res Lett 25:3223–3226

Snay RA (1999) Using the HTDP software to transform spatial coordinates across time and between reference frames. Surv Land Information Syst 59:15–25

Snay RA, Adams G, Chin M, Frakes S, Soler T, Weston ND (2002) The synergistic CORS program continues to evolve. In: Proc ION GPS 2002, 24–27 September, Portland, OR, pp 2630–2639

Soler T (1998) A compendium of transformation formulas useful in GPS work. J Geodesy 72:482–490

Soler T, Marshall J (2002) Rigorous transformation of variance-covariance matrices of GPS-derived coordinates and velocities. GPS Solut 6:76–90

Soler T, Snay RA (2003) Transforming positions and velocities between ITRF00 and NAD 83. J Surv Eng (in press)

Steed J, Lutton G (2000) WGS84 and the geodetic datum of Australia. In: Proc ION GPS 2000, 19–22 September, Salt Lake City, UT, pp 432–437


How Special Relativity Works

You are now familiar with the major players in the universe: space, time, matter, motion, mass, gravity, energy and light. The neat thing about Special Relativity is that many of the simple properties discussed in section 1 behave in very unexpected ways in certain specific "relativistic" situations. The key to understanding special relativity is understanding the effects that relativity has on each property.

Frames of Reference

Einstein's special theory of relativity is based on the idea of reference frames. A reference frame is simply "where a person (or other observer) happens to be standing". You, at this moment, are probably sitting at your computer. That is your current reference frame. You feel like you are stationary, even though you know the earth is revolving on its axis and orbiting around the sun. Here is an important fact about reference frames: There is no such thing as an absolute frame of reference in our universe. By saying مطلق, what is actually meant is that there is no place in the universe that is completely stationary. This statement says that since everything is moving, all motion is relative. Think about it - the earth itself is moving, so even though you are standing still, you are in motion. You are moving through both space and time at all times. Because there is no place or object in the universe that is stationary, there is no single place or object on which to base all other motion. Therefore, if John runs toward Hunter, it could be correctly viewed two ways. From Hunter's perspective, John is moving towards Hunter. From John's perspective, Hunter is moving towards John. Both John and Hunter have the right to observe the action from their respective frames of reference. All motion is relative to your frame of reference. Another example: If you throw a ball, the ball has the right to view itself as being at rest relative to you. The ball can view you as moving away from it, even though you view the ball as moving away from you. Keep in mind that even though you are not moving with respect to the earth's surface, you are moving with the earth.

We'll look at the first postulate of special relativity in the next section.

The Lorentz Transformations are mathematical equations that allow us to transform from one coordinate system to another. Why would we want to do this? Because special relativity deals with frames of reference. When you analyze properties from one frame to another, it is necessary to first transform from one coordinate system to another. Thus, we can utilize the Lorentz Transforms to convert length and time from one frame of reference to another. For example, if you are flying in an airplane and I am standing still on the ground, you could apply the transformations to transform my frame of reference into your frame of reference and I could do the same for you in my frame of reference. The previous statements imply that lengths and times are not the same for objects that are in motion with respect to each other. As unbelievable as this may seem, it is a result of SR. Einstein utilized the transformations because they provide a method of translating the properties from one frame of reference to another when the speed of light is held constant in both.


Coordinate transformations between reference frames in spherical astronomy - Astronomy

We have the intuitive relationships

This set of equations is known as the Galilean Transformation. They enable us to relate a measurement in one inertial reference frame to another. For example, suppose we measure the velocity of a vehicle moving in the in -direction in system S, and we want to know what would be the velocity of the vehicle in S'.

This is the result our intuition is familiar with.

We have stated the we would like the laws of physics to be the same in all inertial reference frames, as this is indeed our experience of nature. Physically, we should be able to perform the same experiments in different reference frames, and find always the same physical laws. Mathematically, these laws are expressed by equations. So, we should be able to ``transform'' our equations from one inertial reference frame to the other inertial reference frame, and always find the same answer.

Suppose we wanted to check that Newton's Second Law is the same in two different reference frames. (We know from experiment that this is the case.) We put one observer in the un-primed frame, and the other in the primed frame, moving with velocity relative to the un-primed frame. Consider the vehicle of the previous case undergoing a constant acceleration in the -direction,

Indeed, it does not matter which inertial frame we observe from, we recover the same Second Law of Motion each time. In the parlance of physics, we say the Second Law of Motion is invariant under the Galilean Transformation.

Exercise 1.3
In the tutorial, you show that the Law of Momentum Conservation holds regardless of the inertial frame a given collision is viewed in. This is done by specialising to a collision where all velocities are in the -direction. How would you do this for a more general collision ?

We have Classical Mechanics, a beautiful theory, as it has an elegant independence of how you observe it. There is a sense of poetry in how ugly terms, arising from observation in a different frame, eventually drop away, until we are left with physical laws which are invariant under the Galilean Transformation.
But . as time passes, it becomes clear we are in a fools paradise !
The first problem .
Experiments on electric and magnetic fields, as well as induction of one type of field from changes in the other, lead to the collection of a set of equations, describing all these phenomena, known as Maxwell's Equations. You are already familiar with them. In vacuum they are

Now, these equations are considered to be rock solid, arising from and verified by many experiments. Amazingly, they imply the existence of a previously not guessed at phenomenon. This is the electromagnetic wave. Every electrical engineer, following Marconi, must appreciate this !

To see this in detail, take the time derivative of the second last equation and the curl of the last.

Now note that space and time derivatives commute

The second term of the above equation drops out due to the vanishing of the divergence of the electric field (the second of Maxwell's Equations). So, we finally have the three dimensional wave equation


Weeks 5&6 (2/10-17) Coordinate Rotation

One can recast all the formalism of spherical trigonometry into a more general method for treating the problem of coordinate transformation. As an example, consider a simple rotation of the 2-D rectangular coordinate system. Some point ص in the original (x,y) plane has some new coordinate designation in the (x',y') plane. As all we've done is a simple rotation by some angle theta, we could represent this with the equations from spherical trigonometry as follows:

Or we could express the same thing in matrix notation:

Matrix Arithmatic

A matrix أ is composed of some number ن of rows and some number م of columns. The individual entries are a_ij. If one has two matricies of the same dimensionality, one can add them as follows:

If one has two matricies of commensurate dimensionality, one can multiply them together. In the example below, I show the result for two (3,3) matricies:

Some other general points to realize: If أ is (n,m) and ب is (n,p), then C = A B will be (n,p). Also, while A(BC) = (AB)C, AB is NOT generally equal to BA.

Rotation Matricies

The problem discussed at the beginning of class is really a 3-D problem in any useful astronomical context. The rotation is about the z-axis is that case. Thus we can express the situation in terms of a rotation matrix as follows:

One can generate analogous matricies R_1, R_2 for rotations about the x- and y-axes as well. Note that these are counter-clockwise rotations when looking "down" the rotation axis, and are positive rotations by definition. Note also that the square of the sum along any row or column is equal to one. That is, a rotation matrix neither stretches nor compresses.

  • Begin with the x-axis.
  • Rotate the positive x-axis by 90 degrees to generate the y-axis.
  • Rotate the positive y-axis by 90 degrees to generate the z-axis.

Now consider how one would generate a left-handed coordinate system.

Here's another useful matrix tool. The Reflection Matrix (y-axis case):

The x- and z-axis versions should be obvious.

And another حقا useful one. The Transpose Matrix. إذا ر is a matrix and X, X' are a pair of vectors, then

Where أنا is the Identity Matrix.

A final general nugget about rotation matricies:

Coordinate Transformation by Rotation

Step 1: Convert from spherical to rectangular coordinates:

  • The z-axis is perpendicular to the defining plane of the coordinate system, and increases toward the principle (generally north) pole.
  • The x-axis is positive toward the reference point of the defining plane. For example, the Vernal Equinox in the Equatorial system.
  • The y-axis is generated by a 90 degree rotation of the x-axis about the z-axis.

Step 2: Derive the needed rotation matrix. In general, this will be some weighted combination of R1, R2, R3. For this example, we will make a particularly easy choice: The tranformation from Equatorial to Ecliptic coordinates.

This has two features that simplify things for us. First, both coordinate systems are right-handed. Second, they have the same x-axis (because the vernal equinox is the fundamental reference point in both the plane of the celestial equator and the plane of the ecliptic). So, given the obliquity of the ecliptic, we can write our rotation matrix as follows:

Step 3: Apply the rotation matrix to determine the rectangular coordinates in the new frame. Note that, if there is a handedness change, one must also include the inversion matrix in this step:

Step 4: Now go back to spherical coordintes in the new frame:

Some Detailed Examples

Horizon to Hour Angle

What we need to do is outlined graphically here. Both systems are left-handed, so we're fine on that score. But we need to rotate the XY plane by 180 degrees about the Z axis because the horizon system zeros at the north point, but the HA system zeros at the south point.

We also need to rotate about the y-axis in order to have the X'Y' plane be the Celestial Equator. Here it is in it's full ugly glory:

Hour Angle to Equatorial

This one requires a handedness inversion. But the X axis point doesn't change (it's the Vernal Equinoz point in both systems). The other rotation is about the Z axis to account for the hour-angle to RA conversion:

Just the first few steps this time:

Equatorial to Ecliptic

We used this as a talking point last time. The only thing we need to do is rotate the coordinate system by the obliquity of the ecliptic. The rotation matrix is given above. You can add the vectors yourself.

Equatorial to Galactic

The gloves are off here. There are no common points between these systems (although they are both right-handed). This means we need to do three seperate coordinate rotations. First we need to rotate about the initial Z axis to bring the X axis from the Vernal Equinox point to the intersection point between the Celestial Equator and the Galactic Plane (also called the line of nodes) that is nearest to the Galactic Center (a rotation of 282.25 degrees). Then we need to rotate about our intermediate X axis to bring the Z axis from the NCP to the NGP (a rotation of 62.2 degrees). Finally, we need a rotation about our new Z' axis of -33 degrees to take our X' axis from the CE/GP intersection point to the position of the Galactic Center.

If you think about all that for a bit, that means we have the following matrix transformation equation:

From here one would expand out the rotation matrices and bang away through the algebra. I won't bother doing that here.


شاهد الفيديو: خطوة كوبرنيكوس و نشأة علم الفلك الحديث (يونيو 2022).


تعليقات:

  1. Osburn

    لطالما تم البحث عن مثل هذه الإجابة

  2. Kataur

    يبدو لي أن الفكرة الواردة في هذا المقال لم يتم الكشف عنها بالكامل. مؤلف ، هل يمكنك إضافة شيء إلى هذا؟

  3. Kadir

    ليس مكتوبة بشكل سيء ، حقا ....

  4. Troye

    تماما أشارك رأيك. أنا أحب هذه الفكرة ، أنا أتفق تمامًا معكم.

  5. Awan

    عبارة قيّمة جدا



اكتب رسالة